Математический анализ Примеры

$\int x^{2} (3 x + 5) d x$

Этап 1

Умножим $x^{2} (3 x + 5)$ .

$\int x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем $x$ .

$\int x \cdot x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int x^{3} \cdot 3 + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$\int 3 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot 5 d x$

Этап 2.3

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$\int 3 x^{3} + 5 x^{2} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x^{3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x^{3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 5 x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 \int x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$3 (\frac{1}{4}) x^{4} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{4} + 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{4} x^{4} + \frac{5}{3} x^{3} + C$