Математический анализ Примеры

$\int \frac{x}{{(\frac{3}{2} y - x)}^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{3}{2} y - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{3}{2} y - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{3}{2} y - x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y - x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{2} y - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $\frac{3}{2} y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2} y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- (- u + \frac{3 y}{2})}{u^{2}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}} d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\int - (\frac{2}{2} \cdot \frac{- u + \frac{3 y}{2}}{u^{2}}) d u$

Этап 2.3

Объединим.

$\int - \frac{2 (- u + \frac{3 y}{2})}{2 u^{2}} d u$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$\int - \frac{2 (- u) + 2 \frac{3 y}{2}}{2 u^{2}} d u$

Этап 2.5.2

Перепишем это выражение.

$\int - \frac{2 (- u) + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Этап 2.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int - \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{- 2 u + 3 y}{2 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- 2 u + 3 y}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- 2 u + 3 y) u^{- 2} d u$

Этап 6

Развернем $(- 2 u + 3 y) u^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u \cdot u^{- 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Этап 6.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 (u^{1} u^{- 2}) + 3 y u^{- 2} d u$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{1 - 2} + 3 y u^{- 2} d u$

Этап 6.4

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - 2 u^{- 1} + 3 y u^{- 2} d u$

Этап 6.5

Изменим порядок $- 2 u^{- 1}$ и $3 y u^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} \int 3 y u^{- 2} - 2 u^{- 1} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2} (\int 3 y u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Этап 8

Поскольку $3 y$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3 y$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (3 y \int u^{- 2} d u + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) + \int - 2 u^{- 1} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 \int u^{- 1} d u)$

Этап 11

Интеграл $u^{- 1}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (3 y (- u^{- 1} + C) - 2 (\ln (| u |) + C))$

Этап 12

Упростим.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{u} - 2 \ln (| u |)) + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3}{2} y - x$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3 y}{\frac{3}{2} y - x} - 2 \ln (| \frac{3}{2} y - x |)) + C$