Математический анализ Примеры

$\int \frac{x - e^{3 \arctan (x)}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = \arctan (x)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , следовательно $- d u_{1} = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = \arctan (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.4

Переставляем члены.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \tan (u_{1}) - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Этап 3

Интеграл $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C + \int - e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{3 u_{1}} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = 3 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 3 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = 3 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 u_{1}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $3 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 6

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 8

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\ln (| \sec (u_{1}) |) + C - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

$\ln (| \sec (u_{1}) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 u_{1}$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 u_{1}} + C$

Этап 10.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) |) - \frac{1}{3} e^{3 \arctan (x)} + C$