Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{t} (t^{2} + t - 1) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t^{2} + t - 1$ и $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + t - 1) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 1) d t$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 1) d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Этап 3.2

Изменим порядок $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

Этап 3.3

Изменим порядок $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.4

Объединим $2$ и $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.6

Объединим $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $t$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.7

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.11

Добавим $3$ и $2$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 3.12

Умножим $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $1$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Этап 5

Поскольку $\frac{4}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{4}{3}$ из-под знака интеграла.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{\frac{5}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Этап 7

Объединим $\frac{2}{7}$ и $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

Этап 8

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + t - 1) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Этап 10.2

Упростим.

$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем $2$ влево от $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 10.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 10.3.4

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 10.3.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

Этап 10.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

Этап 10.3.7

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 10.3.8

Чтобы записать $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 10.3.9

Объединим $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 10.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 10.3.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$