Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x} \ln (x^{2}) d x$

Этап 1

Перепишем $\sqrt{x} \ln (x^{2})$ в виде $\sqrt{x} (2 \ln (x))$ .

$\int \sqrt{x} (2 \ln (x)) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sqrt{x} (\ln (x)) d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = \sqrt{x}$ .

$2 (\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.4

Умножим $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x} d x)$

Этап 4.5

Перенесем $x^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}{3} d x)$

Этап 4.6

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перенесем $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}{3} d x)$

Этап 4.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4.6.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4.6.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4.6.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} d x)$

Этап 5

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x))$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$

Этап 7.2

Перепишем $2 (\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C))$ в виде $2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$ .

$2 (\frac{2 \ln (x) x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{9}) + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$2 (\frac{2}{3} \ln (x) x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C$