Математический анализ Примеры

$\int \frac{v + 1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 1

Разобьем дробь $\frac{v + 1}{- 1 - v^{2}}$ на две дроби.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} + \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{v}{- 1 - v^{2}} d v + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 3

Пусть $u = - 1 - v^{2}$ . Тогда $d u = - 2 v d v$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = v d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = - 1 - v^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $- 1 - v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [- 1 - v^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

По правилу суммы производная $- 1 - v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 1] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Этап 3.1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- v^{2}$ по $v$ равна $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 v)$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 v$

Этап 3.1.4

Вычтем $2 v$ из $0$ .

$- 2 v$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 - v^{2}} d v$

Этап 8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 \cdot 1 - v^{2}} d v$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 1$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - v^{2}} d v$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1) - (v^{2})} d v$

Этап 8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- 1 (1 + v^{2})} d v$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- 1 (1 + v^{2})$ в виде $- (1 + v^{2})$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{- (1 + v^{2})} d v$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{- 1 (- 1)}{- (1 + v^{2})} d v$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1 + v^{2}} d v$

Этап 11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{1^{2} + v^{2}} d v$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + v^{2}}$ по $v$ имеет вид $\arctan (v) + C$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\arctan (v) + C)$

Этап 13

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) - \arctan (v) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $- 1 - v^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 1 - v^{2} |) - \arctan (v) + C$