Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{3 + s} {(s + 1)}^{2} d s$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = {(s + 1)}^{2}$ и $d v = \sqrt{3 + s}$ .

${(s + 1)}^{2} (\frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(3 + s)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(s + 1)}^{2} \frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Этап 2.2

Объединим ${(s + 1)}^{2}$ и $\frac{2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{{(s + 1)}^{2} (2 {(3 + s)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от ${(s + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $s$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2}{3} \int {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} (2 s + 2) d s)$

Этап 4

Пусть $u = 3 + s$ . Тогда $d u = d s$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 + s$ . Найдем $\frac{d u}{d s}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 + s$ .

$\frac{d}{d s} [3 + s]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 + s$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$ .

$\frac{d}{d s} [3] + \frac{d}{d s} [s]$

Этап 4.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $s$ , производная $3$ относительно $s$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d s} [s]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2) d u$

Этап 5

Развернем $u^{\frac{3}{2}} (2 (u - 3) + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3 + 2) d u$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u + 2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (2 u) + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Этап 5.4

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} (2 \cdot - 3) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Этап 5.5

Перенесем $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d u$

Этап 5.6

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.7

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + 1} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.9

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.11

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} + 2 \cdot - 3 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.12

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 6 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5.13

Добавим $- 6 u^{\frac{3}{2}}$ и $2 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \int 2 u^{\frac{5}{2}} - 4 u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\int 2 u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 \int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 4 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 9

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (2 (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) - 4 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Чтобы записать $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Этап 11.2.2

Объединим $- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Этап 11.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.5

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.6

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{1} (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 11.2.7.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $3 + s$ .

$\frac{2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4 {(3 + s)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{8 {(3 + s)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} (2 {(s + 1)}^{2} {(3 + s)}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{4}{7} {(3 + s)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(3 + s)}^{\frac{5}{2}})) + C$