Математический анализ Примеры

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 25} d x$

Этап 1

Пусть $x = 5 \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \sec (t) \tan (t)$ положительно.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $25$ из $- 25$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $25$ из $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $25 \tan^{2} (t)$ в виде ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int {(5 \sec (t))}^{3} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int {(5 \sec (t))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sec (t)$ .

$\int {(5 (\sec (t)))}^{3} (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.2

Применим правило умножения к $5 (\sec (t))$ .

$\int 5^{3} \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\int 125 \sec^{3} (t) (5 \tan (t)) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $125$ .

$\int 625 \sec^{3} (t) \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.5

Умножим $5$ на $625$ .

$\int 3125 \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.6

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int 3125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3125 {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.8

Добавим $1$ и $3$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Этап 2.2.9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Этап 2.2.10

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3125 \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 3125 \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $3125$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3125$ из-под знака интеграла.

$3125 \int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$3125 \int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Этап 4.2

Перепишем ${\sec (t)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$3125 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (t)$ в виде $1 + \tan^{2} (t)$ .

$3125 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Этап 6

Пусть $u = \tan (t)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \tan (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Этап 6.1.2

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3125 \int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 7

Умножим $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$3125 \int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$3125 \int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 8.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3125 \int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 8.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3125 \int u^{2} + u^{4} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3125 (\int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$3125 (\frac{u^{3}}{3} + C + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$3125 (\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (t)$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t)) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$3125 (\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (\frac{1}{5} x))) + C$