Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) + \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 3.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{1}^{0} - u d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{1}^{0} u d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0})$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- \cos (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - (\frac{u^{2}}{2}]_{1}^{0})$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{u^{2}}{2}$ в $0$ и в $1$ .

$(- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0) - ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (\frac{0}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 7.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - (0 - \frac{1}{2})$

Этап 7.3.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) - - \frac{1}{2}$

Этап 7.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 7.3.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 0 + \cos (0) + \frac{1}{2}$

Этап 8.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 0 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 1 + \frac{1}{2}$

Этап 8.4

Добавим $0$ и $1$ .

$1 + \frac{1}{2}$

Этап 8.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 + 1}{2}$

Этап 8.7

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$