Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos^{2} (x) d x$

Этап 1

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{3}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Этап 5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 5.5

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $x$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}})$

Этап 9.2

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{2 π}{3}$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{3}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0)))$

Этап 9.3

Добавим $\frac{π}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0))$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0))$

Этап 10.3

Добавим $\sin (\frac{2 π}{3})$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{2 π}{3})}{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sin (\frac{π}{3})}{2})$

Этап 11.1.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Этап 11.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Этап 11.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4})$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 11.3

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{π}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 11.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

Десятичная форма:

$0.74010512 \dots$