Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 5 {\sin (x)}^{\frac{3}{2}} \cos (x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{\frac{3}{2}} \cos (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 2.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1})$

Этап 4

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{1})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{2 \cdot 1}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 5.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 5.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 5.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 5.2.5.2

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Этап 5.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Этап 5.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{0}{5})$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 5.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 5.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 5.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{2}{5} - \frac{0}{1})$

Этап 5.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{2}{5} - 0)$

Этап 5.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{2}{5} + 0)$

Этап 5.2.10

Добавим $\frac{2}{5}$ и $0$ .

$5 (\frac{2}{5})$

Этап 5.2.11

Объединим $5$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 5.2.12

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{5}$

Этап 5.2.13

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 5.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.13.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Этап 5.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Этап 5.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1}$

Этап 5.2.13.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$