Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (7 π x)} \cos (7 π x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Тогда $d u_{2} = 7 π \cos (7 π x) d x$ , следовательно $\frac{1}{7 π} d u_{2} = \cos (7 π x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sin (7 π x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sin (7 π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (7 π x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 7 π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $7 π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 π x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $7 π x$ .

$\cos (7 π x) \frac{d}{d x} [7 π x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7 π$ является константой относительно $x$ , производная $7 π x$ по $x$ равна $7 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (7 π x) (7 π \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (7 π x) (7 π \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $7$ на $1$ .

$\cos (7 π x) (7 π)$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $7$ влево от $\cos (7 π x)$ .

$7 \cdot \cos (7 π x) π$

Этап 1.1.3.3.3

Изменим порядок множителей в $7 \cos (7 π x) π$ .

$7 π \cos (7 π x)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{lower} = \sin (7 π \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $7 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $0$ на $7$ .

$u_{lower} = \sin (0 π)$

Этап 1.3.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 1.3.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \sin (7 π x)$ .

$u_{upper} = \sin (7 π \frac{π}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $7 π \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Объединим $\frac{π}{2}$ и $7$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7}{2} π)$

Этап 1.5.1.2

Объединим $\frac{π \cdot 7}{2}$ и $π$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π \cdot 7 π}{2})$

Этап 1.5.1.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π)}{2})$

Этап 1.5.1.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 (π^{1} π^{1})}{2})$

Этап 1.5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{1 + 1}}{2})$

Этап 1.5.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{7 π^{2}}{2})$

Этап 1.5.2

Найдем значение $\sin (\frac{7 π^{2}}{2})$ .

$u_{upper} = 0.01390333$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.01390333$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} \frac{1}{7 π} d u_{2}$

Этап 2

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{7 π}$ .

$\int_{0}^{0.01390333} \frac{e^{u_{2}}}{7 π} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7 π}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{7 π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7 π} \int_{0}^{0.01390333} e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{7 π} e^{u_{2}}]_{0}^{0.01390333}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u_{2}}$ в $0.01390333$ и в $0$ .

$\frac{1}{7 π} ((e^{0.01390333}) - e^{0})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{7 π} (e^{0.01390333} - 1)$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{7 π} \cdot (e^{0.01390333} - 1)$

Десятичная форма:

$0.00063663 \dots$