Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $6 - \cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $6 - \cos (2 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \cos (2 t)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 t$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 2.1.3.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 t$ .

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Этап 2.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 t)$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $2 \sin (2 t)$ .

$2 \sin (2 t)$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

Этап 2.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{lower} = 6 - 1$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$u_{lower} = 5$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ .

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 2.5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

Этап 2.5.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

Этап 2.5.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.5.1.4

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 6 - - 1$

Этап 2.5.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $6$ и $1$ .

$u_{upper} = 7$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5.3

Умножим $\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

Этап 7

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $7$ и в $5$ .

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

Этап 8

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\ln (\frac{7}{5})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\frac{7}{5})$

Десятичная форма:

$0.33647223 \dots$