Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} 18 \tan (3 x) d x$

Этап 1

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{12}} \tan (3 x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{12}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $\tan (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan (u)}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$18 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\tan (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sec (u) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Этап 7

Найдем значение $\ln (| \sec (u) |)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$6 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{4})$ : $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))$

Этап 8.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$6 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))$

Этап 8.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$6 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$6 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})$

Этап 9.1.4

$\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$6 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})$

Этап 9.3

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$6 \ln (\sqrt{2})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$6 \ln (\sqrt{2})$

Десятичная форма:

$2.07944154 \dots$