Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Тогда $d u_{1} = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 6 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\sin^{3} (u_{1})$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\sin^{2} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 6.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 6.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

Этап 10

Объединим $- u_{2}]_{1}^{0}$ и $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ в $0$ и в $1$ .

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 11.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Этап 11.2.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 11.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Этап 11.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

Этап 11.2.11.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

Этап 11.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

Этап 11.2.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

Этап 11.2.14

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

Этап 11.2.15

Добавим $0$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Этап 11.2.16

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

Этап 11.2.17

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{2}{18}$

Этап 11.2.18

Сократим общий множитель $2$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{18}$

Этап 11.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Этап 11.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

Этап 11.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$0.\overline{1}$