Математический анализ Примеры

$\int y^{3} (2 y^{2} - 3) d y$

Этап 1

Умножим $y^{3} (2 y^{2} - 3)$ .

$\int y^{3} (2 y^{2}) + y^{3} \cdot - 3 d y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $y^{3}$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\int y^{2} y^{3} \cdot 2 + y^{3} \cdot - 3 d y$

Этап 2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{2 + 3} \cdot 2 + y^{3} \cdot - 3 d y$

Этап 2.1.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\int y^{5} \cdot 2 + y^{3} \cdot - 3 d y$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{5}$ .

$\int 2 \cdot y^{5} + y^{3} \cdot - 3 d y$

Этап 2.3

Перенесем $- 3$ влево от $y^{3}$ .

$\int 2 y^{5} - 3 y^{3} d y$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y^{5} d y + \int - 3 y^{3} d y$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y^{5} d y + \int - 3 y^{3} d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$2 (\frac{1}{6} y^{6} + C) + \int - 3 y^{3} d y$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{6} y^{6} + C) - 3 \int y^{3} d y$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{6} y^{6} + C) - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{6}) y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{6} - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 8.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{6} + \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Этап 8.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} y^{6} - \frac{3}{4} y^{4} + C$