Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ положительно.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2.2

Применим правило умножения к $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.4

Перепишем $9 \sec^{2} (t)$ в виде ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \tan (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $3 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.3

Перепишем $\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ в виде произведения.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.4

Умножим $\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ на $\frac{1}{3 \sec (t)}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.5

Умножим $3$ на $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.6

Сократим общий множитель $27$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $27 \tan^{3} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $24 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2.3.7

Умножим $\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ на $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.2.3.8

Умножим $3$ на $9$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.2.3.9

Умножим $2$ на $8$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

Этап 2.2.2.3.10

Сократим общий множитель $\sec^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.10.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

Этап 2.2.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $16 \sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Этап 2.2.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

Этап 2.2.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{27}{16}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{27}{16}$ из-под знака интеграла.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 5

Вынесем $\tan^{2} (t)$ за скобки.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 7

Упростим.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 8

Пусть $u = \sec (t)$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \sec (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Этап 8.1.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Этап 8.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

Этап 8.5

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

Этап 12

Объединим $- u]_{1}^{2}$ и $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ .

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.4

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.5

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.7.2

Добавим $- 6$ и $8$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

Этап 13.2.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

Этап 13.2.10

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Этап 13.2.11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 13.2.12

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Этап 13.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Этап 13.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.14.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Этап 13.2.14.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

Этап 13.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

Этап 13.2.16

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Этап 13.2.17

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

Этап 13.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

Этап 13.2.19

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

Этап 13.2.20

Умножим $\frac{27}{16}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

Этап 13.2.21

Умножим $27$ на $4$ .

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

Этап 13.2.22

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{108}{48}$

Этап 13.2.23

Сократим общий множитель $108$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.23.1

Вынесем множитель $12$ из $108$ .

$\frac{12 (9)}{48}$

Этап 13.2.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.23.2.1

Вынесем множитель $12$ из $48$ .

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Этап 13.2.23.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

Этап 13.2.23.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{4}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{4}$

Десятичная форма:

$2.25$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{4}$

Этап 15