Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{0.786} x \sin^{2} (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin^{2} (x)$ .

$x (\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 x))]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - \int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{1}{2} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{1}{4} \sin (2 x) d x)$

Этап 4.2

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\int_{0}^{0.786} \frac{x}{2} d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.786} x d x + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} + \int_{0}^{0.786} - \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \int_{0}^{0.786} \frac{\sin (2 x)}{4} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - (\frac{1}{4} \int_{0}^{0.786} \sin (2 x) d x))$

Этап 10

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 10.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 10.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.786$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $0.786$ .

$u_{upper} = 1.572$

Этап 10.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.572$

Этап 10.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1.572} \frac{\sin (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 4} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1.572} \sin (u) d u)$

Этап 14

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{1}{8} - \cos (u)]_{0}^{1.572})$

Этап 15

Объединим $- \cos (u)]_{0}^{1.572}$ и $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})]_{0}^{0.786} - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Этап 16

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $x (\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4})$ в $0.786$ и в $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{0.786}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Этап 16.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0.786$ и в $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{- \cos (u)]_{0}^{1.572}}{8})$

Этап 16.3

Найдем значение $- \cos (u)$ в $1.572$ и в $0$ .

$(0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0.786)}{4})) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $2$ на $0.786$ .

$0.786 (\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}) + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.2

Умножим $0.786$ на $\frac{0.786}{2} - \frac{\sin (1.572)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$0.11239814 + 0 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$0.11239814 + 0 (\frac{0}{1} - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (2 \cdot 0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.4

Умножим $2$ на $0$ .

$0.11239814 + 0 (0 - \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.5

Вычтем $\frac{\sin (0)}{4}$ из $0$ .

$0.11239814 + 0 (- \frac{\sin (0)}{4}) - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0.11239814 + 0 \frac{\sin (0)}{4} - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.7

Умножим $0$ на $\frac{\sin (0)}{4}$ .

$0.11239814 + 0 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.8

Добавим $0.11239814$ и $0$ .

$0.11239814 - (\frac{(\frac{{0.786}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.9

Возведем $0.786$ в степень $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0^{2}}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 (0)}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - \frac{0}{1}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} - 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2} + 0}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.13

Добавим $\frac{0.617796}{2}$ и $0$ .

$0.11239814 - (\frac{\frac{0.617796}{2}}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.14

Перепишем $\frac{\frac{0.617796}{2}}{2}$ в виде произведения.

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.15

Умножим $\frac{0.617796}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{2 \cdot 2} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.16

Умножим $2$ на $2$ .

$0.11239814 - (\frac{0.617796}{4} - \frac{(- \cos (1.572)) + \cos (0)}{8})$

Этап 16.4.17

Вычтем $\frac{0.617796}{4} - \frac{- \cos (1.572) + \cos (0)}{8}$ из $0.11239814$ .

$0.0830996$