Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x \cos (π x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (π x)$ .

$x (\frac{1}{π} \sin (π x))]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{π}$ и $\sin (π x)$ .

$x \frac{\sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \sin (π x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin (π x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $π$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{upper} = π \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (u)}{π} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{1}{π}$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 7.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 7.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (π x)}{π}]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x \sin (π x)}{π}$ в $\frac{1}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Этап 9.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$(\frac{\frac{1}{2} \sin (π \frac{1}{2})}{π}) - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2})}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{π}{2})$ .

$\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.3

Перепишем $\frac{\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}}{π}$ в виде произведения.

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2} \cdot \frac{1}{π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.4

Умножим $\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$ на $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (π \cdot 0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.5

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0 \sin (0)}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.6

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{0}{π} - \frac{1}{π^{2}} ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0))$

Этап 9.3.7

Чтобы записать $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2 π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.8

Объединим $- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ и $\frac{2 π}{2 π}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2})}{2 π} + \frac{- \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) (2 π)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 2 \frac{1}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.11

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) π}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.12

Объединим $π$ и $\frac{- 2}{π^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.13

Перенесем $- 2$ влево от $π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2 \cdot π}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.14

Сократим общий множитель $π$ и $π^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.14.1

Вынесем множитель $π$ из $- 2 π$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π^{2}} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.14.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π^{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{π \cdot - 2}{π π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) + \frac{- 2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 9.3.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + \cos (0))}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (- 0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} (0 + 1)}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} \cdot 1}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π}$

Этап 10.7

Чтобы записать $- \frac{0}{π}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0}{π} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 π$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $\frac{0}{π}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{π \cdot 2}$

Этап 10.8.2

Изменим порядок множителей в $π \cdot 2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π} - \frac{0 \cdot 2}{2 π}$

Этап 10.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0 \cdot 2}{2 π}$

Этап 10.10

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π} + 0}{2 π}$

Этап 10.11

Добавим $1 - \frac{2}{π}$ и $0$ .

$\frac{1 - \frac{2}{π}}{2 π}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{π}{π} - \frac{2}{π}}{2 π}$

Этап 11.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{π - 2}{π}}{2 π}$

Этап 11.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$

Этап 11.3

Умножим $\frac{π - 2}{π} \cdot \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $\frac{π - 2}{π}$ на $\frac{1}{2 π}$ .

$\frac{π - 2}{π (2 π)}$

Этап 11.3.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π)}$

Этап 11.3.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{π - 2}{2 (π^{1} π^{1})}$

Этап 11.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{π - 2}{2 π^{1 + 1}}$

Этап 11.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π - 2}{2 π^{2}}$

Десятичная форма:

$0.05783375 \dots$