Математический анализ Примеры

$\int 3 \sqrt{\tan^{2} (4 x) + 1} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int 3 \sqrt{\sec^{2} (4 x)} d x$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int 3 \sec (4 x) d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sec (4 x) d x$

Этап 3

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \sec (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 4

Объединим $\sec (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{\sec (u)}{4} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} \int \sec (u) d u)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $3$ .

$\frac{3}{4} \int \sec (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\sec (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{3}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) + C$