Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{8} (3 \sin (2 x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 3}^{8} 3 \sin (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 3}^{8} \sin (2 x) d x$

Этап 3

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 3$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$u_{lower} = - 6$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 8$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 16$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{- 6}^{16} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{- 6}^{16} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{- 6}^{16} \sin (u) d u$

Этап 7

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{3}{2} - \cos (u)]_{- 6}^{16}$

Этап 8

Найдем значение $- \cos (u)$ в $16$ и в $- 6$ .

$\frac{3}{2} (- \cos (16) + \cos (- 6))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\cos (16)$ .

$\frac{3}{2} (- - 0.95765948 + \cos (- 6))$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $- 0.95765948$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + \cos (- 6))$

Этап 9.1.3

Найдем значение $\cos (- 6)$ .

$\frac{3}{2} (0.95765948 + 0.96017028)$

Этап 9.2

Добавим $0.95765948$ и $0.96017028$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$

Этап 9.3

Умножим $\frac{3}{2} \cdot 1.91782976$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $1.91782976$ .

$\frac{3 \cdot 1.91782976}{2}$

Этап 9.3.2

Умножим $3$ на $1.91782976$ .

$\frac{5.7534893}{2}$

Этап 9.4

Разделим $5.7534893$ на $2$ .

$2.87674465$