Математический анализ Примеры

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} d x)$

Этап 5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $x^{2} e^{x}$ в $- 1$ и в $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Этап 6.2

Найдем значение $x e^{x}$ в $- 1$ и в $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

Этап 6.3

Найдем значение $e^{x}$ в $- 1$ и в $- 4$ .

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Этап 6.4.2

Умножим $e^{- 1}$ на $1$ .

$e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Этап 6.4.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$e^{- 1} - 1 \cdot 16 e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

Этап 6.4.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e^{- 1} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 16 \frac{1}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.3

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.5.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.5.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (\frac{1}{e} - e^{- 4}))$

Этап 7.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} - - e^{- 4})$

Этап 7.1.5.6

Умножим $- - e^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + 1 e^{- 4})$

Этап 7.1.5.6.2

Умножим $e^{- 4}$ на $1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + e^{- 4})$

Этап 7.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 1 - 1}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Этап 7.1.7

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Этап 7.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} - \frac{2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

Этап 7.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} - 2 (- \frac{2}{e}) - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Этап 7.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1

Умножим $- 2 (- \frac{2}{e})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + 2 \frac{2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Этап 7.1.10.1.2

Объединим $2$ и $\frac{2}{e}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Этап 7.1.10.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

Этап 7.1.10.2

Умножим $- 2 \frac{4}{e^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{4}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 2 \cdot 4}{e^{4}}$

Этап 7.1.10.2.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 8}{e^{4}}$

Этап 7.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - \frac{8}{e^{4}}$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 e^{- 4} + \frac{1 + 4}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

Этап 7.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

Этап 7.4

Вычтем $8$ из $- 16$ .

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Этап 7.5.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{- 2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Этап 7.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

Этап 7.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} - \frac{24}{e^{4}}$

Этап 7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 - 24}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Этап 7.7

Вычтем $24$ из $- 2$ .

$\frac{- 26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Этап 7.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

Десятичная форма:

$1.36319059 \dots$

Этап 9