Математический анализ Примеры

$\int 2 \sec^{4} (y) d y$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sec^{4} (y) d y$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$2 \int {\sec (y)}^{2 + 2} d y$

Этап 2.2

Перепишем ${\sec (y)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (y) \sec^{2} (y)$ .

$2 \int \sec^{2} (y) \sec^{2} (y) d y$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (y)$ в виде $1 + \tan^{2} (y)$ .

$2 \int (1 + \tan^{2} (y)) \sec^{2} (y) d y$

Этап 4

Пусть $u = \tan (y)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (y) d y$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (y)} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \tan (y)$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\tan (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\tan (y)]$

Этап 4.1.2

Производная $\tan (y)$ по $y$ равна $\sec^{2} (y)$ .

$\sec^{2} (y)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int 1 + u^{2} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (u + C + \int u^{2} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$2 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$2 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (y)$ .

$2 (\tan (y) + \frac{1}{3} \tan^{3} (y)) + C$