Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{e + 1} \frac{4}{x - 1} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{2}^{e + 1} \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{upper} = e + 1 - 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = e + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $e$ и $0$ .

$u_{upper} = e$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$4 \int_{1}^{e} \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$4 (\ln (| u |)]_{1}^{e})$

Этап 4

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $e$ и в $1$ .

$4 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$4 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Этап 6.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$4 \ln (\frac{e}{1})$

Этап 6.3

Разделим $e$ на $1$ .

$4 \ln (e)$

Этап 6.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 6.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 7