Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} \frac{6}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{2}^{5} \frac{1}{{(3 x + 1)}^{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x + 1$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 2 + 1$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$u_{lower} = 6 + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $6$ и $1$ .

$u_{lower} = 7$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $15$ и $1$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 16$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3} \cdot 3} d u$

Этап 3.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$6 \int_{7}^{16} \frac{1}{3 u^{3}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $6$ .

$\frac{6}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int_{7}^{16} \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int_{7}^{16} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \int_{7}^{16} u^{- 3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{7}^{16})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{7}^{16})$

Этап 7.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{7}^{16})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 u^{2}}$ в $16$ и в $7$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 16^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 256} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $256$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 7^{2}})$

Этап 8.2.3

Возведем $7$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{2 \cdot 49})$

Этап 8.2.4

Умножим $2$ на $49$ .

$2 (- \frac{1}{512} + \frac{1}{98})$

Этап 8.2.5

Чтобы записать $- \frac{1}{512}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98})$

Этап 8.2.6

Чтобы записать $\frac{1}{98}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{1}{512} \cdot \frac{49}{49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Этап 8.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25088$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.7.1

Умножим $\frac{1}{512}$ на $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{49}{512 \cdot 49} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Этап 8.2.7.2

Умножим $512$ на $49$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{1}{98} \cdot \frac{256}{256})$

Этап 8.2.7.3

Умножим $\frac{1}{98}$ на $\frac{256}{256}$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{98 \cdot 256})$

Этап 8.2.7.4

Умножим $98$ на $256$ .

$2 (- \frac{49}{25088} + \frac{256}{25088})$

Этап 8.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{- 49 + 256}{25088}$

Этап 8.2.9

Добавим $- 49$ и $256$ .

$2 (\frac{207}{25088})$

Этап 8.2.10

Объединим $2$ и $\frac{207}{25088}$ .

$\frac{2 \cdot 207}{25088}$

Этап 8.2.11

Умножим $2$ на $207$ .

$\frac{414}{25088}$

Этап 8.2.12

Сократим общий множитель $414$ и $25088$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.12.1

Вынесем множитель $2$ из $414$ .

$\frac{2 (207)}{25088}$

Этап 8.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $25088$ .

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Этап 8.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 207}{2 \cdot 12544}$

Этап 8.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{207}{12544}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{207}{12544}$

Десятичная форма:

$0.01650191 \dots$

Этап 10