Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} 3 x - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} - \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \int_{2}^{5} \frac{6}{7 x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{6}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{6}{7}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - (\frac{6}{7} \int_{2}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} \int_{2}^{5} x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$3 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} - x^{- 1}]_{2}^{5}$

Этап 9.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $5$ и в $2$ .

$3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{25}{2} - 2) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.5

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$3 \frac{25 - 4}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.8.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$3 (\frac{21}{2}) - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.9

Объединим $3$ и $\frac{21}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 21}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.10

Умножим $3$ на $21$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- 5^{- 1} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + 2^{- 1})$

Этап 9.3.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{2})$

Этап 9.3.13

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 9.3.14

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.3.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.15.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.3.15.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5})$

Этап 9.3.15.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5})$

Этап 9.3.15.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} (- \frac{2}{10} + \frac{5}{10})$

Этап 9.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{- 2 + 5}{10}$

Этап 9.3.17

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{63}{2} - \frac{6}{7} \cdot \frac{3}{10}$

Этап 9.3.18

Умножим $\frac{3}{10}$ на $\frac{6}{7}$ .

$\frac{63}{2} - \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 7}$

Этап 9.3.19

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{63}{2} - \frac{18}{10 \cdot 7}$

Этап 9.3.20

Умножим $10$ на $7$ .

$\frac{63}{2} - \frac{18}{70}$

Этап 9.3.21

Сократим общий множитель $18$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.21.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{63}{2} - \frac{2 (9)}{70}$

Этап 9.3.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

Этап 9.3.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{63}{2} - \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 35}$

Этап 9.3.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{63}{2} - \frac{9}{35}$

Этап 9.3.22

Чтобы записать $\frac{63}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{35}{35}$ .

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35}$

Этап 9.3.23

Чтобы записать $- \frac{9}{35}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63}{2} \cdot \frac{35}{35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.3.24

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $70$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.24.1

Умножим $\frac{63}{2}$ на $\frac{35}{35}$ .

$\frac{63 \cdot 35}{2 \cdot 35} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.3.24.2

Умножим $2$ на $35$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9}{35} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.3.24.3

Умножим $\frac{9}{35}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{35 \cdot 2}$

Этап 9.3.24.4

Умножим $35$ на $2$ .

$\frac{63 \cdot 35}{70} - \frac{9 \cdot 2}{70}$

Этап 9.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{63 \cdot 35 - 9 \cdot 2}{70}$

Этап 9.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.26.1

Умножим $63$ на $35$ .

$\frac{2205 - 9 \cdot 2}{70}$

Этап 9.3.26.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{2205 - 18}{70}$

Этап 9.3.26.3

Вычтем $18$ из $2205$ .

$\frac{2187}{70}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2187}{70}$

Десятичная форма:

$31.24285714 \dots$

Форма смешанных чисел:

$31 \frac{17}{70}$

Этап 11