Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{5} 0.5 x^{2} + 3 x + 7 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{5} 0.5 x^{2} d x + \int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 2

Поскольку $0.5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $0.5$ из-под знака интеграла.

$0.5 \int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$0.5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$0.5 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 x d x + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$0.5 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} x d x + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 7 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$0.5 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 7 x]_{2}^{5}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $2$ .

$0.5 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 7 x]_{2}^{5}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $2$ .

$0.5 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 7 x]_{2}^{5}$

Этап 9.3

Найдем значение $7 x$ в $5$ и в $2$ .

$0.5 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$0.5 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$0.5 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$0.5 \frac{125 - 8}{3} + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.4

Вычтем $8$ из $125$ .

$0.5 (\frac{117}{3}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.5

Сократим общий множитель $117$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.1

Вынесем множитель $3$ из $117$ .

$0.5 \frac{3 \cdot 39}{3} + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0.5 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)} + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0.5 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0.5 (\frac{39}{1}) + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.5.2.4

Разделим $39$ на $1$ .

$0.5 \cdot 39 + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.6

Умножим $0.5$ на $39$ .

$19.5 + 3 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - 2) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.11

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.12

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$19.5 + 3 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$19.5 + 3 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.14.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$19.5 + 3 \frac{25 - 4}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.14.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$19.5 + 3 (\frac{21}{2}) + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.15

Объединим $3$ и $\frac{21}{2}$ .

$19.5 + \frac{3 \cdot 21}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.16

Умножим $3$ на $21$ .

$19.5 + \frac{63}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.17

Чтобы записать $19.5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$19.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.18

Объединим $19.5$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{19.5 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{19.5 \cdot 2 + 63}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.20.1

Умножим $19.5$ на $2$ .

$\frac{39 + 63}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.20.2

Добавим $39$ и $63$ .

$\frac{102}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.21

Сократим общий множитель $102$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $102$ .

$\frac{2 \cdot 51}{2} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 51}{2 (1)} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 51}{2 \cdot 1} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{51}{1} + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.21.2.4

Разделим $51$ на $1$ .

$51 + (7 \cdot 5) - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.22

Умножим $7$ на $5$ .

$51 + 35 - 7 \cdot 2$

Этап 9.4.23

Умножим $- 7$ на $2$ .

$51 + 35 - 14$

Этап 9.4.24

Вычтем $14$ из $35$ .

$51 + 21$

Этап 9.4.25

Добавим $51$ и $21$ .

$72$

Этап 10