Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{- 3}^{3} x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 8

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $- 3$ .

$5 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Этап 12.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - x]_{- 3}^{3}$

Этап 12.4

Найдем значение $- x$ в $3$ и в $- 3$ .

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.2

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{81}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{81 - 81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.4

Вычтем $81$ из $81$ .

$5 (\frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.5

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.5.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$5 \frac{4 (0)}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 \cdot 0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.6

Умножим $5$ на $0$ .

$0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.7

Возведем $3$ в степень $3$ .

$0 + 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.8

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.8.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.8.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.8.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.8.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$0 + 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.9

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$0 + 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.10

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.10.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$0 + 2 (9 - - 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.11

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$0 + 2 (9 + 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.12

Добавим $9$ и $9$ .

$0 + 2 \cdot 18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.13

Умножим $2$ на $18$ .

$0 + 36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.14

Добавим $0$ и $36$ .

$36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.15

Возведем $3$ в степень $2$ .

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.16

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$36 + 6 \frac{9 - 9}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.18

Вычтем $9$ из $9$ .

$36 + 6 (\frac{0}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.19

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.19.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$36 + 6 \frac{2 (0)}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.19.2.2

Сократим общий множитель.

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.19.2.3

Перепишем это выражение.

$36 + 6 (\frac{0}{1}) - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.19.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$36 + 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.20

Умножим $6$ на $0$ .

$36 + 0 - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.21

Добавим $36$ и $0$ .

$36 - 1 \cdot 3 - 3$

Этап 12.5.22

Умножим $- 1$ на $3$ .

$36 - 3 - 3$

Этап 12.5.23

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$36 - 6$

Этап 12.5.24

Вычтем $6$ из $36$ .

$30$

Этап 13