Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{2} 3 x^{2} + 6 x - 8 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - 8 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 3$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 3$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 8 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9.3

Найдем значение $- 8 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$3 (\frac{8}{3} - - 9) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$3 (\frac{8}{3} + 9) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.6

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Умножим $9$ на $3$ .

$3 \frac{8 + 27}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.8.2

Добавим $8$ и $27$ .

$3 (\frac{35}{3}) + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.9

Объединим $3$ и $\frac{35}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.10

Умножим $3$ на $35$ .

$\frac{105}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.11

Сократим общий множитель $105$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $105$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 35}{3 (1)} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 35}{3 \cdot 1} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35}{1} + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.11.2.4

Разделим $35$ на $1$ .

$35 + 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$35 + 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.13

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$35 + 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.13.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$35 + 6 (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.14

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$35 + 6 (2 - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.15

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$35 + 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.16

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$35 + 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$35 + 6 \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.18.1

Умножим $2$ на $2$ .

$35 + 6 \frac{4 - 9}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.18.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$35 + 6 (\frac{- 5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$35 + 6 (- \frac{5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.20

Умножим $- 1$ на $6$ .

$35 - 6 (\frac{5}{2}) + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.21

Объединим $- 6$ и $\frac{5}{2}$ .

$35 + \frac{- 6 \cdot 5}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.22

Умножим $- 6$ на $5$ .

$35 + \frac{- 30}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.23

Сократим общий множитель $- 30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.23.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.2.2

Сократим общий множитель.

$35 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.2.3

Перепишем это выражение.

$35 + \frac{- 15}{1} + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.2.4

Разделим $- 15$ на $1$ .

$35 - 15 + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.24

Вычтем $15$ из $35$ .

$20 + (- 8 \cdot 2) + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.25

Умножим $- 8$ на $2$ .

$20 - 16 + 8 \cdot - 3$

Этап 9.4.26

Умножим $8$ на $- 3$ .

$20 - 16 - 24$

Этап 9.4.27

Вычтем $24$ из $- 16$ .

$20 - 40$

Этап 9.4.28

Вычтем $40$ из $20$ .

$- 20$

Этап 10