Математический анализ Примеры

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} - x + 6 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Этап 9.3

Найдем значение $6 x$ в $2$ и в $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.6

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.8.2

Добавим $8$ и $27$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.11

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.13

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.15.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.15.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.18

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.19

Чтобы записать $- \frac{35}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.20

Чтобы записать $\frac{5}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.21.1

Умножим $\frac{35}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.21.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.21.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.21.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.23.1

Умножим $- 35$ на $2$ .

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.23.3

Добавим $- 70$ и $15$ .

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.25

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

Этап 9.4.26

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

Этап 9.4.27

Добавим $12$ и $18$ .

$- \frac{55}{6} + 30$

Этап 9.4.28

Чтобы записать $30$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 9.4.29

Объединим $30$ и $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

Этап 9.4.30

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

Этап 9.4.31

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.31.1

Умножим $30$ на $6$ .

$\frac{- 55 + 180}{6}$

Этап 9.4.31.2

Добавим $- 55$ и $180$ .

$\frac{125}{6}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{125}{6}$

Десятичная форма:

$20.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$20 \frac{5}{6}$

Этап 11