Математический анализ Примеры

$\int 2 x \sin (x - 1) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x \sin (x - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x - 1)$ .

$2 (x (- \cos (x - 1)) - \int - \cos (x - 1) d x)$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (x (- \cos (x - 1)) - - \int \cos (x - 1) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (x (- \cos (x - 1)) + 1 \int \cos (x - 1) d x)$

Этап 4.2

Умножим $\int \cos (x - 1) d x$ на $1$ .

$2 (x (- \cos (x - 1)) + \int \cos (x - 1) d x)$

Этап 5

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (x (- \cos (x - 1)) + \int \cos (u) d u)$

Этап 6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$2 (x (- \cos (x - 1)) + \sin (u) + C)$

Этап 7

Перепишем $2 (x (- \cos (x - 1)) + \sin (u) + C)$ в виде $2 (- x \cos (x - 1) + \sin (u)) + C$ .

$2 (- x \cos (x - 1) + \sin (u)) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$2 (- x \cos (x - 1) + \sin (x - 1)) + C$