Математический анализ Примеры

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} - 3 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{27}^{64} \sqrt[3]{x} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{27}^{64} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + \int_{27}^{64} - 3 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64} + - 3 x]_{27}^{64}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{27}^{64}$ и $- 3 x]_{27}^{64}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x]_{27}^{64}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 3 x$ в $64$ и в $27$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 64^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64) - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(4^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 4^{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.4

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 256 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $256$ .

$\frac{3 \cdot 256}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.6

Умножим $3$ на $256$ .

$\frac{768}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.7

Сократим общий множитель $768$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $768$ .

$\frac{4 \cdot 192}{4} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 192}{4 (1)} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 192}{4 \cdot 1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{192}{1} - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.7.2.4

Разделим $192$ на $1$ .

$192 - 3 \cdot 64 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.8

Умножим $- 3$ на $64$ .

$192 - 192 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.9

Вычтем $192$ из $192$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.10

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.12.1

Сократим общий множитель.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.12.2

Перепишем это выражение.

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.13

Возведем $3$ в степень $4$ .

$0 - (\frac{3}{4} \cdot 81 - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.14

Объединим $\frac{3}{4}$ и $81$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 81}{4} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.15

Умножим $3$ на $81$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 3 \cdot 27)$

Этап 5.2.2.16

Умножим $- 3$ на $27$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81)$

Этап 5.2.2.17

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 5.2.2.18

Объединим $- 81$ и $\frac{4}{4}$ .

$0 - (\frac{243}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Этап 5.2.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{243 - 81 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.20.1

Умножим $- 81$ на $4$ .

$0 - \frac{243 - 324}{4}$

Этап 5.2.2.20.2

Вычтем $324$ из $243$ .

$0 - \frac{- 81}{4}$

Этап 5.2.2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - - \frac{81}{4}$

Этап 5.2.2.22

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{81}{4})$

Этап 5.2.2.23

Умножим $\frac{81}{4}$ на $1$ .

$0 + \frac{81}{4}$

Этап 5.2.2.24

Добавим $0$ и $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{81}{4}$

Десятичная форма:

$20.25$

Форма смешанных чисел:

$20 \frac{1}{4}$

Этап 7