Математический анализ Примеры

$\int 2 p y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 1

Поскольку $2 p$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 p$ из-под знака интеграла.

$2 p \int y (8 - y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p \int y \cdot 8 + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 2.2

Изменим порядок $y$ и $8$ .

$2 p \int 8 \cdot y + y (- y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 2.3

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$2 p \int 8 \cdot y - 1 \cdot y \cdot y^{\frac{3}{2}} d y$

Этап 2.4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$2 p \int 8 y - (y \cdot y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 2.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 p \int 8 y - (y^{1} y^{\frac{3}{2}}) d y$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 p \int 8 y - y^{1 + \frac{3}{2}} d y$

Этап 2.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} d y$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 p \int 8 y - y^{\frac{2 + 3}{2}} d y$

Этап 2.9

Добавим $2$ и $3$ .

$2 p \int 8 y - y^{\frac{5}{2}} d y$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 p (\int 8 y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$2 p (8 \int y d y + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - y^{\frac{5}{2}} d y)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - \int y^{\frac{5}{2}} d y)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $y^{\frac{5}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 p (8 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C))$

Этап 8

Упростим.

$2 p (4 y^{2} - \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}) + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$2 p (4 y^{2} - \frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}) + C$