Математический анализ Примеры

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $10$ на $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

Этап 1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.3

Умножим $\frac{5}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

Этап 1.4.6.5

Упростим.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

Этап 1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.5.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{x}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.6.2.5

Упростим.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $25 x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

Этап 1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

Этап 1.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

Этап 1.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

Этап 1.10

Объединим $\frac{x + 25}{x}$ и $x$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

Этап 1.11.2

Разделим $x + 25$ на $1$ .

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

Этап 2

Поскольку $20 p$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20 p$ из-под знака интеграла.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

Этап 3

Пусть $u = x + 25$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x + 25$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

Этап 3.1.4

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 25$ .

$u_{lower} = 24 + 25$

Этап 3.3

Добавим $24$ и $25$ .

$u_{lower} = 49$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 25$ .

$u_{upper} = 39 + 25$

Этап 3.5

Добавим $39$ и $25$ .

$u_{upper} = 64$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

Этап 6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $64$ и в $49$ .

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.5

Умножим $2$ на $512$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.6

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 7.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Сократим общий множитель.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 7.2.8.2

Перепишем это выражение.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

Этап 7.2.9

Возведем $7$ в степень $3$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

Этап 7.2.10

Умножим $2$ на $343$ .

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

Этап 7.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

Этап 7.2.12

Вычтем $686$ из $1024$ .

$20 p \frac{338}{3}$

Этап 7.2.13

Объединим $20$ и $\frac{338}{3}$ .

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

Этап 7.2.14

Умножим $20$ на $338$ .

$p \frac{6760}{3}$

Этап 7.2.15

Объединим $p$ и $\frac{6760}{3}$ .

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

Этап 7.2.16

Перенесем $6760$ влево от $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{6760}{3} p$

Этап 9

Объединим $\frac{6760}{3}$ и $p$ .

$\frac{6760 p}{3}$

Этап 10