Математический анализ Примеры

$\int_{- 6}^{- 3} u - \frac{9}{u^{2}} d u$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 6}^{- 3} u d u + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 6}^{- 3} - \frac{9}{u^{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - \int_{- 6}^{- 3} \frac{9}{u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $9$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - (9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 \int_{- 6}^{- 3} u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{- 6}^{- 3} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{2} u^{2}$ в $- 3$ и в $- 6$ .

$(\frac{1}{2} {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 3})$

Этап 7.2

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $- 3$ и в $- 6$ .

$\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 6)}^{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 36 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.4

Умножим $36$ на $- 1$ .

$\frac{9}{2} - 36 (\frac{1}{2}) - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.5

Объединим $- 36$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.6

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} + \frac{- 18}{1} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.6.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$\frac{9}{2} - 18 - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.7

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.8

Объединим $- 18$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 18 \cdot 2}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.10.1

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{9 - 36}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.10.2

Вычтем $36$ из $9$ .

$\frac{- 27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{2} - 9 (- {(- 3)}^{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.12

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (- \frac{1}{- 3} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{2} - 9 (- - \frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (1 (\frac{1}{3}) + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.15

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + {(- 6)}^{- 1})$

Этап 7.3.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} + \frac{1}{- 6})$

Этап 7.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})$

Этап 7.3.18

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

Этап 7.3.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.19.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

Этап 7.3.19.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{2}{6} - \frac{1}{6})$

Этап 7.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{27}{2} - 9 \frac{2 - 1}{6}$

Этап 7.3.21

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{27}{2} - 9 (\frac{1}{6})$

Этап 7.3.22

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{- 9}{6}$

Этап 7.3.23

Сократим общий множитель $- 9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{3 (- 3)}{6}$

Этап 7.3.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.23.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.23.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{27}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.23.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{27}{2} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.3.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{27}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 7.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 27 - 3}{2}$

Этап 7.3.26

Вычтем $3$ из $- 27$ .

$\frac{- 30}{2}$

Этап 7.3.27

Сократим общий множитель $- 30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.27.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2}$

Этап 7.3.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 15}{2 (1)}$

Этап 7.3.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 15}{1}$

Этап 7.3.27.2.4

Разделим $- 15$ на $1$ .

$- 15$

Этап 8