Математический анализ Примеры

$\int_{- 8}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{- 8}^{1} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 8}^{1} x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int_{- 8}^{1} x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{- 8}^{1} x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{- 8}^{1}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ в $1$ и в $- 8$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 8)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.3

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} {(- 2)}^{2}$

Этап 3.2.6

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 4$

Этап 3.2.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} - 4 (\frac{3}{2})$

Этап 3.2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 4 \cdot 3}{2}$

Этап 3.2.9

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 12}{2}$

Этап 3.2.10

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Этап 3.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Этап 3.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} + \frac{- 6}{1}$

Этап 3.2.10.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$\frac{3}{2} - 6$

Этап 3.2.11

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.2.12

Объединим $- 6$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 6 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.14.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{3 - 12}{2}$

Этап 3.2.14.2

Вычтем $12$ из $3$ .

$\frac{- 9}{2}$

Этап 3.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$- 4.5$

Форма смешанных чисел:

$- 4 \frac{1}{2}$

Этап 5