Математический анализ Примеры

$\int_{- 8}^{0} x e^{x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} e^{x} d x$

Этап 2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x e^{x}]_{- 8}^{0} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $x e^{x}$ в $0$ и в $- 8$ .

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - (e^{x}]_{- 8}^{0})$

Этап 3.2

Найдем значение $e^{x}$ в $0$ и в $- 8$ .

$(0 e^{0}) + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Этап 3.3.2

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $8 e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - ((e^{0}) - e^{- 8})$

Этап 3.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 e^{- 8} - (1 - e^{- 8})$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

Этап 4.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - (1 - e^{- 8})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{e^{8}} - 1 \cdot 1 - - e^{- 8}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 - - e^{- 8}$

Этап 4.5

Умножим $- - e^{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + 1 e^{- 8}$

Этап 4.5.2

Умножим $e^{- 8}$ на $1$ .

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{e^{8}} - 1 + e^{- 8}$

Десятичная форма:

$- 0.99698083 \dots$

Этап 6