Математический анализ Примеры

$\int 8 x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{3} \sqrt{2 x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = \sqrt{2 x + 1}$ .

$8 (x^{3} (\frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (x^{3} \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{1}{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} x^{2} d x)$

Этап 3.5

Объединим $\frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Этап 3.6

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} d x)$

Этап 3.7

Разделим ${(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ на $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x)$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1})$

Этап 5.2

Объединим $\frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ и ${(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{1})$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{1}))$

Этап 7

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , следовательно $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{2}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- \frac{1}{2}$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} (1 \cdot 2) d u_{2})$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} \cdot 2 d u_{2})$

Этап 8.3

Перенесем $2$ влево от ${(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int 2 {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (2 \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2}))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.3.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{1} \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 11

Пусть $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Тогда $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $2 u_{2} + 1$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 11.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $2 u_{2}$ по $u_{2}$ равна $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 11.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 11.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Этап 11.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $1$ относительно $u_{2}$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 11.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3})$

Этап 12.2

Объединим $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ и ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{2} d u_{3})$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} d u_{3}))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перепишем ${(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}$ в виде $(\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} ((\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.4

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 14.5

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} + \frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.6

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (\frac{u_{3}}{2} (- \frac{1}{2})) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.7

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 14.8

Изменим порядок $\frac{u_{3}}{2}$ и $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.9

Перенесем круглые скобки.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot \frac{u_{3}}{2}) \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.10

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2}) + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.11

Перенесем круглые скобки.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.12

Изменим порядок ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})) d u_{3})$

Этап 14.13

Перенесем $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2}) d u_{3})$

Этап 14.14

Перенесем круглые скобки.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1 \frac{1}{2}) \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.15

Перенесем круглые скобки.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} (- 1 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.16

Перенесем ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 \cdot {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.17

Объединим ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.18

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.20

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.22

Добавим $3$ и $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.23

Умножим $\frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ на $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.24

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}} {u_{3}}^{1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.26

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.28

Добавим $5$ и $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.29

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{u_{3}}{2} \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.30

Объединим $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.31

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.32

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.34

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.35

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.36

Добавим $3$ и $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.37

Умножим $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.38

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.39

Объединим $- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{u_{3}}{2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.40

Умножим $\frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ на $\frac{u_{3}}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.41

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} u_{3})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.42

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- ({u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.44

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.45

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{3 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.46

Добавим $3$ и $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.47

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.48

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + 1 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.49

Умножим ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.50

Объединим ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Этап 14.51

Умножим $\frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} d u_{3})$

Этап 14.52

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 14.53

Добавим $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ и $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + 2 \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 14.54

Объединим $2$ и $\frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 14.55

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{4} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 (2)} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{2 (- {u_{3}}^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 15.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3})$

Этап 16

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\int \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{4} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 17

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{7}{2}} d u_{3} + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 18

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2}{9} {u_{3}}^{\frac{9}{2}} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 19

Объединим $\frac{2}{9}$ и ${u_{3}}^{\frac{9}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \int - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 20

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \int \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{2} d u_{3} + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 21

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - (\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3}) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 22

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 23

Объединим $\frac{2}{7}$ и ${u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{9} + C) - \frac{1}{2} (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{4} d u_{3}))$

Этап 24

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

Этап 25

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

Этап 26.2

Упростим.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 26.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.1

Чтобы записать $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{12}{12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 26.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.3.2.1

Умножим $\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{12}{12}$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{3 \cdot 12} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 26.3.2.2

Умножим $3$ на $12$ .

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12}{36} - \frac{{u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 26.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 (\frac{x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 12 - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 26.3.4

Перенесем $12$ влево от $x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 27

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 u_{2} + 1$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 u_{2} + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 27.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 27.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 1$ .

$8 (\frac{12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}}{36} + \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}}}{14} - \frac{{(2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}}{20}) + C$

Этап 28

Изменим порядок членов.

$8 (\frac{1}{36} (12 x^{3} {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{9}{2}}) + \frac{1}{14} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{1}{20} {(2 (\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$