Математический анализ Примеры

$\int 81 x^{3} e^{3 x} d x$

Этап 1

Поскольку $81$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $81$ из-под знака интеграла.

$81 \int x^{3} e^{3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (x^{3} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (3 x^{2}) d x)$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x}}{3} x^{2} d x)$

Этап 3.5

Объединим $\frac{3 e^{3 x}}{3}$ и $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int \frac{3 e^{3 x} x^{2}}{3} d x)$

Этап 3.6.2

Разделим $e^{3 x} x^{2}$ на $1$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \int e^{3 x} x^{2} d x)$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (x^{2} \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Этап 5.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 x) d x))$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} (2 x) d x))$

Этап 5.4

Объединим $2$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x}}{3} x d x))$

Этап 5.5

Объединим $\frac{2 e^{3 x}}{3}$ и $x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \int \frac{2 e^{3 x} x}{3} d x))$

Этап 6

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} x d x)))$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Этап 8.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)))$

Этап 8.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)))$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))))$

Этап 10

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)))$

Этап 11

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)))$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)))$

Этап 13.2

Умножим $3$ на $3$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)))$

Этап 14

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$

Этап 15

Перепишем $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - (\frac{x^{2} e^{3 x}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))))$ в виде $81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{u}}{27}) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$81 (\frac{x^{3} e^{3 x}}{3} - \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} + \frac{2 x e^{3 x}}{9} - \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$81 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$3 (27) \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 27 \frac{x^{3} e^{3 x}}{3} + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.1.3

Перепишем это выражение.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 (- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ в числитель.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 81 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.2.2

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 (27) \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.2.3

Сократим общий множитель.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 3 \cdot 27 \frac{- x^{2} e^{3 x}}{3} + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.2.4

Перепишем это выражение.

$27 (x^{3} e^{3 x}) + 27 (- x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 81 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (9) \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.4.2

Сократим общий множитель.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 \cdot 9 \frac{2 x e^{3 x}}{9} + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.4.3

Перепишем это выражение.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 9 (2 x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.5

Умножим $2$ на $9$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 (- \frac{2 e^{3 x}}{27}) + C$

Этап 17.2.6

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 e^{3 x}}{27}$ в числитель.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 81 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Этап 17.2.6.2

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 (3) \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Этап 17.2.6.3

Сократим общий множитель.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 27 \cdot 3 \frac{- 2 e^{3 x}}{27} + C$

Этап 17.2.6.4

Перепишем это выражение.

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) + 3 (- 2 e^{3 x}) + C$

Этап 17.2.7

Умножим $- 2$ на $3$ .

$27 (x^{3} e^{3 x}) - 27 (x^{2} e^{3 x}) + 18 (x e^{3 x}) - 6 e^{3 x} + C$

Этап 17.3

Избавимся от скобок.

$27 x^{3} e^{3 x} - 27 x^{2} e^{3 x} + 18 x e^{3 x} - 6 e^{3 x} + C$