Математический анализ Примеры

$\int_{8}^{9} x + \frac{2}{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{8}^{9} x d x + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + \int_{8}^{9} \frac{2}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 \int_{8}^{9} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{8}^{9} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $9$ и в $8$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 9^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| x |)]_{8}^{9})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $9$ и в $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9^{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.3

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{81}{2} - \frac{1}{2} \cdot 64 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.4

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\frac{81}{2} - 64 (\frac{1}{2}) + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.5

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.6

Сократим общий множитель $- 64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 64$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81}{2} + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81}{2} + \frac{- 32}{1} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.6.2.4

Разделим $- 32$ на $1$ .

$\frac{81}{2} - 32 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.7

Чтобы записать $- 32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} - 32 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.8

Объединим $- 32$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{81 - 32 \cdot 2}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.10.1

Умножим $- 32$ на $2$ .

$\frac{81 - 64}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.10.2

Вычтем $64$ из $81$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$

Этап 5.1.3.11

Чтобы записать $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.1.3.12

Объединим $2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{17}{2} + \frac{2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Этап 5.1.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{17 + 2 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |)) \cdot 2}{2}$

Этап 5.1.3.14

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{17 + 4 (\ln (| 9 |) - \ln (| 8 |))}{2}$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{| 9 |}{| 8 |})}{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{| 8 |})}{2}$

Этап 5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{17 + 4 \ln (\frac{9}{8})}{2}$

Десятичная форма:

$8.73556607 \dots$

Этап 7