Математический анализ Примеры

$\int 5 {(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2} d v$

Этап 1

Перепишем ${(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2}$ в виде $v^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{v^{2} + 8}$ в виде ${(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 {({(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} d v$

Этап 1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d v$

Этап 1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{1} d v$

Этап 1.5

Упростим.

$\int 5 (v^{2} + 8) d v$

Этап 2

Умножим $5 (v^{2} + 8)$ .

$\int 5 v^{2} + 5 \cdot 8 d v$

Этап 3

Умножим $5$ на $8$ .

$\int 5 v^{2} + 40 d v$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 v^{2} d v + \int 40 d v$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int v^{2} d v + \int 40 d v$

Этап 6

По правилу степени интеграл $v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{3} v^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + \int 40 d v$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + 40 v + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $v^{3}$ .

$5 (\frac{v^{3}}{3} + C) + 40 v + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{5 v^{3}}{3} + 40 v + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{3} v^{3} + 40 v + C$