Математический анализ Примеры

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \sqrt{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Этап 1.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 6

Упростим.

$10 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$