Математический анализ Примеры

$\int_{5}^{7} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{5}^{7} \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int_{5}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{- 3} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{5}^{7})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{5}^{7})$

Этап 5.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{5}^{7})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $7$ и в $5$ .

$- 2 ((- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $49$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Этап 5.2.2.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 25})$

Этап 5.2.2.4

Умножим $2$ на $25$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{50})$

Этап 5.2.2.5

Чтобы записать $- \frac{1}{98}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50})$

Этап 5.2.2.6

Чтобы записать $\frac{1}{50}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Этап 5.2.2.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2450$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Умножим $\frac{1}{98}$ на $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{25}{98 \cdot 25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Этап 5.2.2.7.2

Умножим $98$ на $25$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Этап 5.2.2.7.3

Умножим $\frac{1}{50}$ на $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{50 \cdot 49})$

Этап 5.2.2.7.4

Умножим $50$ на $49$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{2450})$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{- 25 + 49}{2450}$

Этап 5.2.2.9

Добавим $- 25$ и $49$ .

$- 2 (\frac{24}{2450})$

Этап 5.2.2.10

Сократим общий множитель $24$ и $2450$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$- 2 \frac{2 (12)}{2450}$

Этап 5.2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2450$ .

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Этап 5.2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Этап 5.2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{12}{1225})$

Этап 5.2.2.11

Объединим $- 2$ и $\frac{12}{1225}$ .

$\frac{- 2 \cdot 12}{1225}$

Этап 5.2.2.12

Умножим $- 2$ на $12$ .

$\frac{- 24}{1225}$

Этап 5.2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24}{1225}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{24}{1225}$

Десятичная форма:

$- 0.01959183 \dots$

Этап 7