Математический анализ Примеры

$\int_{- 5}^{5} 8 - | x | d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{5} 8 d x + \int_{- 5}^{5} - | x | d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{- 5}^{5} + \int_{- 5}^{5} - | x | d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{- 5}^{5} - \int_{- 5}^{5} | x | d x$

Этап 4

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$8 x]_{- 5}^{5} - (\int_{- 5}^{0} - x d x + \int_{0}^{5} x d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{- 5}^{5} - (- \int_{- 5}^{0} x d x + \int_{0}^{5} x d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{0}^{5} x d x)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{0}^{5} x d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $8 x$ в $5$ и в $- 5$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 5$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Этап 9.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $0$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $8$ на $5$ .

$40 - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.2

Умножим $- 8$ на $- 5$ .

$40 + 40 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.3

Добавим $40$ и $40$ .

$80 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$80 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$80 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$80 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$80 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$80 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$80 - (- (0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.6

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$80 - (- (0 - \frac{25}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.7

Вычтем $\frac{25}{2}$ из $0$ .

$80 - (- - \frac{25}{2} + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$80 - (1 (\frac{25}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.9

Умножим $\frac{25}{2}$ на $1$ .

$80 - (\frac{25}{2} + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 9.2.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 9.2.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - 0)$

Этап 9.2.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 0)$

Этап 9.2.4.14

Добавим $\frac{25}{2}$ и $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2})$

Этап 9.2.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$80 - \frac{25 + 25}{2}$

Этап 9.2.4.16

Добавим $25$ и $25$ .

$80 - \frac{50}{2}$

Этап 9.2.4.17

Сократим общий множитель $50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.17.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2}$

Этап 9.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

Этап 9.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

Этап 9.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$80 - \frac{25}{1}$

Этап 9.2.4.17.2.4

Разделим $25$ на $1$ .

$80 - 1 \cdot 25$

Этап 9.2.4.18

Умножим $- 1$ на $25$ .

$80 - 25$

Этап 9.2.4.19

Вычтем $25$ из $80$ .

$55$

Этап 10