Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{9} 2 x \sqrt{x} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{4}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{4}^{9})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $9$ и в $4$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $3$ в степень $5$ .

$2 (\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $243$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 4.2.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Этап 4.2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{5}}{5})$

Этап 4.2.2.9

Возведем $2$ в степень $5$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 32}{5})$

Этап 4.2.2.10

Умножим $2$ на $32$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{64}{5})$

Этап 4.2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{486 - 64}{5}$

Этап 4.2.2.12

Вычтем $64$ из $486$ .

$2 (\frac{422}{5})$

Этап 4.2.2.13

Объединим $2$ и $\frac{422}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 422}{5}$

Этап 4.2.2.14

Умножим $2$ на $422$ .

$\frac{844}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{844}{5}$

Десятичная форма:

$168.8$

Форма смешанных чисел:

$168 \frac{4}{5}$

Этап 6