Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{9} 3 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $9$ и в $4$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.9.1

Сократим общий множитель.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.9.2

Перепишем это выражение.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Этап 4.2.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Этап 4.2.2.11

Умножим $2$ на $8$ .

$3 (18 - \frac{16}{3})$

Этап 4.2.2.12

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 4.2.2.13

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Этап 4.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Этап 4.2.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.15.1

Умножим $18$ на $3$ .

$3 \frac{54 - 16}{3}$

Этап 4.2.2.15.2

Вычтем $16$ из $54$ .

$3 (\frac{38}{3})$

Этап 4.2.2.16

Объединим $3$ и $\frac{38}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3}$

Этап 4.2.2.17

Умножим $3$ на $38$ .

$\frac{114}{3}$

Этап 4.2.2.18

Сократим общий множитель $114$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.18.1

Вынесем множитель $3$ из $114$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3}$

Этап 4.2.2.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 38}{3 (1)}$

Этап 4.2.2.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 38}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{38}{1}$

Этап 4.2.2.18.2.4

Разделим $38$ на $1$ .

$38$

Этап 5