Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Этап 4.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Этап 4.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Этап 4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Этап 4.7

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 4.8

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Этап 4.10.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{5}{2}}$ по $x$ имеет вид $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Этап 10.1.2

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Этап 10.1.3

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Этап 10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $9$ и в $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Этап 10.2.2

Найдем значение $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ в $9$ и в $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.3

Чтобы записать $- \frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.4

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.5.2

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.5.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.5.4

Умножим $4$ на $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.7

Добавим $- 4$ и $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.8

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.9

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.11

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.12

Умножим $3$ на $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.13

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 10.2.3.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Этап 10.2.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Этап 10.2.3.15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Этап 10.2.3.16

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Этап 10.2.3.17

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Этап 10.2.3.18

Сократим общий множитель $2$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Этап 10.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Этап 10.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Этап 10.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Этап 10.2.3.19

Чтобы записать $- \frac{2}{81}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Этап 10.2.3.20

Чтобы записать $\frac{1}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Этап 10.2.3.21

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $324$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.21.1

Умножим $\frac{2}{81}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Этап 10.2.3.21.2

Умножим $81$ на $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Этап 10.2.3.21.3

Умножим $\frac{1}{12}$ на $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Этап 10.2.3.21.4

Умножим $12$ на $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Этап 10.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Этап 10.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.23.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Этап 10.2.3.23.2

Добавим $- 8$ и $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Этап 10.2.3.24

Чтобы записать $\frac{5}{36}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Этап 10.2.3.25

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $324$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.25.1

Умножим $\frac{5}{36}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Этап 10.2.3.25.2

Умножим $36$ на $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Этап 10.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Этап 10.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.27.1

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Этап 10.2.3.27.2

Вычтем $19$ из $45$ .

$\frac{26}{324}$

Этап 10.2.3.28

Сократим общий множитель $26$ и $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.28.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$\frac{2 (13)}{324}$

Этап 10.2.3.28.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.28.2.1

Вынесем множитель $2$ из $324$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Этап 10.2.3.28.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Этап 10.2.3.28.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{162}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{162}$

Десятичная форма:

$0.08024691 \dots$

Этап 12