Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{5} \frac{5}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 5 x + 2$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 5 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $5 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x + 2$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 4 + 2$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $5$ на $4$ .

$u_{lower} = 20 + 2$

Этап 2.3.2

Добавим $20$ и $2$ .

$u_{lower} = 22$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 5 x + 2$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5 + 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $5$ на $5$ .

$u_{upper} = 25 + 2$

Этап 2.5.2

Добавим $25$ и $2$ .

$u_{upper} = 27$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 22$

$u_{upper} = 27$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Этап 3.2

Перенесем $5$ влево от $u^{2}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$ на $1$ .

$\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{22}^{27} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{22}^{27} u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{22}^{27} u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{22}^{27}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- u^{- 1}$ в $27$ и в $22$ .

$(- 27^{- 1}) + 22^{- 1}$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + 22^{- 1}$

Этап 7.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + \frac{1}{22}$

Этап 7.2.3

Чтобы записать $- \frac{1}{27}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22}$

Этап 7.2.4

Чтобы записать $\frac{1}{22}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 7.2.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $594$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $\frac{1}{27}$ на $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{22}{27 \cdot 22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $27$ на $22$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 7.2.5.3

Умножим $\frac{1}{22}$ на $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{22 \cdot 27}$

Этап 7.2.5.4

Умножим $22$ на $27$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{594}$

Этап 7.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 22 + 27}{594}$

Этап 7.2.7

Добавим $- 22$ и $27$ .

$\frac{5}{594}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{594}$

Десятичная форма:

$0.0\overline{084175}$

Этап 9