Математический анализ Примеры

$\int 4 x \sqrt{x - 1} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x \sqrt{x - 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$4 (x (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (x \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 3.2

Объединим $x$ и $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x))$

Этап 5

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Этап 7.2

Перепишем $4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ в виде $4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы записать $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 7.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 7.3.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Этап 7.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.3.4

Умножим $5$ на $2$ .

$4 \frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 7.3.5

Объединим $4$ и $\frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 9.2

Умножим $10$ на $4$ .

$\frac{40 (x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Этап 9.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{15} (40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$