Математический анализ Примеры

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} + 2 w - 2 d w$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 5}^{0} w^{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 3

По правилу степени интеграл $w^{2}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 \int_{- 5}^{0} w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 5

По правилу степени интеграл $w$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{1}{2} w^{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} w^{3}$ в $0$ и в $- 5$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{w^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Этап 8.3

Найдем значение $- 2 w$ в $0$ и в $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.3

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot - 125) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.4

Умножим $- 125$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 125 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.5

Объединим $125$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{125}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.6

Добавим $0$ и $\frac{125}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{125}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{125}{3}$ .

$\frac{125}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.8

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.11

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.12

Вычтем $\frac{25}{2}$ из $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (- \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.13

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{125}{6} - 2 (\frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.14

Объединим $- 2$ и $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 2 \cdot 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.15

Умножим $- 2$ на $25$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 50}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.16

Сократим общий множитель $- 50$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 50$ .

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 (1)} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125}{6} + \frac{- 25}{1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.16.2.4

Разделим $- 25$ на $1$ .

$\frac{125}{6} - 25 + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.17

Чтобы записать $- 25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} - 25 \cdot \frac{6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.18

Объединим $- 25$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 - 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.20.1

Умножим $- 25$ на $6$ .

$\frac{125 - 150}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.20.2

Вычтем $150$ из $125$ .

$\frac{- 25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.22

Умножим $- 2$ на $0$ .

$- \frac{25}{6} + 0 + 2 \cdot - 5$

Этап 8.4.23

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- \frac{25}{6} + 0 - 10$

Этап 8.4.24

Вычтем $10$ из $0$ .

$- \frac{25}{6} - 10$

Этап 8.4.25

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} - 10 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 8.4.26

Объединим $- 10$ и $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} + \frac{- 10 \cdot 6}{6}$

Этап 8.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 25 - 10 \cdot 6}{6}$

Этап 8.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.28.1

Умножим $- 10$ на $6$ .

$\frac{- 25 - 60}{6}$

Этап 8.4.28.2

Вычтем $60$ из $- 25$ .

$\frac{- 85}{6}$

Этап 8.4.29

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{85}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{85}{6}$

Десятичная форма:

$- 14.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$- 14 \frac{1}{6}$

Этап 10